Coxeter Matrix

Definition / 释义

Coxeter 矩阵：在抽象代数与几何中，用来描述一个 Coxeter 群生成元之间关系的矩阵 \(M=(m_{ij})\)。通常满足：

• \(m_{ii}=1\)；
• \(m_{ij}=m_{ji}\)（对称）；
• 当 \(m_{ij}=k\) 时，表示生成元 \(s_i,s_j\) 满足 \((s_i s_j)^k=1\)；有时允许 \(m_{ij}=\infty\) 表示没有有限阶关系。
  （该术语也常与 Coxeter 图/图形、反射对称等内容一起出现。）

Pronunciation / 发音（IPA）

/ˈkɒksɪtər ˈmeɪtrɪks/
/ˈkɑːksɪtər ˈmeɪtrɪks/

Examples / 例句

The Coxeter matrix tells us which generators commute and which do not.
Coxeter 矩阵告诉我们哪些生成元彼此可交换，哪些不可以。

Given a Coxeter matrix \(M\), we can define the Coxeter group by relations \((s_i s_j)^{m_{ij}}=1\) for all \(i\neq j\).
给定一个 Coxeter 矩阵 \(M\)，我们可以用关系 \((s_i s_j)^{m_{ij}}=1\)（对所有 \(i\neq j\)）来定义对应的 Coxeter 群。

Etymology / 词源

“Coxeter matrix” 以英国数学家 H. S. M. Coxeter（考克斯特）命名，他对反射群、正多胞形与对称性研究影响深远；“matrix”来自拉丁语 matrix，在现代数学中指“矩阵”。合起来即“用于 Coxeter 理论的矩阵表示”。

Related Words / 相关词

• Coxeter Group
• Reflection
• Dynkin Diagram
• Cartan Matrix
• Weyl Group
• Root System

In Notable Works / 文献与名著用例

• Reflection Groups and Coxeter Groups（James E. Humphreys）
• Combinatorics of Coxeter Groups（Anders Björner & Francesco Brenti）
• Regular Polytopes（H. S. M. Coxeter）
• The Symmetry of Things（John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss）